Question

【题目】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．

Answer 1

【答案】9．

【解析】

连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．

连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BCAD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，

∴MC+DM＝MA+DM≥AD，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．

故答案为：9．