Question

【题目】定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.

（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）

①等边三角形存在“和谐分割线”（　 　）

②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”（　 　）

（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度．

Answer 1

【答案】（1）①×，②√；（2）和谐分割线”的长度为4．

【解析】

（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；

（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可,并根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和CD+BD=BC=6，求出CD的长度即可.

（1）①因为过等边三角形任意一顶点，分割的两个三角形都有一个角小于60°，即不可能是等边三角形，故等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；

②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，

则这个三角形必存在“和谐分割线”，理由如下：

如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的平分线交AC于D.

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC=,

∵∠ABC=2∠C

∴∠ABD=∠DBC=∠C，

∴BD=DC，△BDC为等腰三角形

∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C=∠ABC.

故BD为△ABC的和谐分割线.

正确，是真命题，

故答案为：×，√；

（2）如图2，作∠CAB的平分线AD，

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠DAB＝∠B＝30°，

∴DA＝DB，

∴△ADB是等腰三角形，且∠CAD＝∠DAB＝∠B，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC

∴线段AD是△ABC的“和谐分割线”，

设CD＝x，则BD＝6﹣x，

∵ ，

∴x＝2，

即AD＝BD＝6﹣2＝4；

即和谐分割线”的长度为4．