Question

【题目】如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF= CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中， ①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABQ中，

∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，

∴AB=4x，

∴BQ=5x，

∵OD⊥m，m⊥l，

∴OD∥l，

∵OB=OQ，

∴ =2x，

∴CD=2x，

∴FD= =3x

（2）解：∵AP=AQ=3x，PC=4，

∴CQ=6x+4，

作OM⊥AQ于点M（如图1），

∴OM∥AB，

∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，

∴点O是BQ的中点，

∴QM=AM= x

∴OD=MC= ，

∴OE= BQ= ，

∴ED=2x+4，

S矩形DEGF=DFDE=3x（2x+4）=90，

解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，

∴AP=3x=9

（3）解：①若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，

I．点P在A点的右侧时（如图1）

∴2x+4=3x，解得：x=4，

∴AP=3x=12；

II．点P在A点的左侧时，

当点C在Q右侧，

0＜x＜ 时（如图2），

∵ED=4﹣7x，DF=3x，

∴4﹣7x=3x，解得：x= ，

∴AP= ；

当 ≤x＜ 时（如图3），

∵ED=4﹣7x，DF=3x，

∴4﹣7x=3x，解得：x= （舍去），

当点C在Q的左侧时，即x≥ （如图4），

DE=7x﹣4，DF=3x，

∴7x﹣4=3x，解得：x=1，

∴AP=3，

综上所述：当AP为12或 或3时，矩形DEGF是正方形；

②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，

当点N在AB的左侧时（如图5），

过点B作BM⊥EG于点M，

∵GM=x，BM=x，

∴∠GBM=45°，

∴BM∥AQ，

∴AI=AB=4x，

∴IQ=x，

∴NQ= =2，

∴x=2 ，

∴AP=6 ；

当点N在AB的右侧时（如图6），

过点B作BJ⊥GE于点J，

∵GJ=x，BJ=4x，

∴tan∠GBJ= ，

∴AI=16x，∴QI=19x，

∴NQ= =2，

∴x= ，

∴AP= ，

综上所述：AP的长为6 或 ．

【解析】（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH=BH= AB，求得CD，FD；（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由垂径定理得QM=AM= x，由矩形性质得OD=MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；（3）①点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4=3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜ 时（如图2），4﹣7x=3x，解得x，易得AP；当 时（如图3），7﹣4x=3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥ （如图4），同理得AP；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ= ，利用（1）（2）中结论得AI=16x，QI=19x，解得x，得AP．