Question

【题目】如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是.

Answer 1

【答案】x=0或x= 或4≤x<4
【解析】解：以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB必有一个交点P1 ， 且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，
①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，
除了P1 ， 当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；
只有3个点P；

②当0<x<4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，
则OM=ON-MN= NP2-4= .

③因为MN=4，所以当x>0时，MN<ON，则MN=NP不存在，
除了P1外，当MP=MN=4时，
过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；

当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM= MD=4 ，

故4≤x<4 .
与OB有两个交点P2和P3 ，
所以答案是x=0或x= 或4≤x<4 .
【考点精析】掌握相交两圆的性质是解答本题的根本，需要知道相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．