Question

【题目】问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。

Answer 1

【答案】
（1）

△ABD≌△BCE≌△CAF.

证明： ∵正△ABC中,

∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,

∵∠ABD=∠ABC-∠2,∠BCE=∠ACB-∠3,又∠2=∠3

∴∠ABD=∠BCE,

又∵∠1=∠2，

∴△ABD≌△BCE（ASA）.

（2）

△DEF是正三角形.

证明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,

∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,

∴△DEF是正三角形.

（3）

解：作AG⊥BD，交BD延长线于点G.

由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）

∴在Rt△ADG中，DG=b,AG=b.

∴在Rt△ABG中，c2=+,

∴c2=a2+ab+b2

【解析】（1）由正△AB得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,再通过等量代换得出∠1=∠2，从而得出△ABD≌△BCE（ASA）.
（2）由（1）中△ABD≌△BCE≌△CAF，得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,∠FDE=∠DEF=∠EFD,从而得出△DEF是正三角形.
（3）作AG⊥BD，交BD延长线于点G.由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）从而在Rt△ADG中，
DG=b,AG=b；在Rt△ABG中，c2=+,最后得出c2=a2+ab+b2
【考点精析】通过灵活运用含30度角的直角三角形和勾股定理的概念，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．