Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

（1）线段BD、CE的数量关系是________；并说明理由；

（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；

（3)如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F.求证：EF＝DC.

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）α+β=180°，理由见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）首先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可得BD=CE；

（2）利用△ABD≌△ACE，推出∠BAC+∠BCE=180°，根据三角形内角和定理求出即可；

（3）利用△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，由∠BAC＝90°，AB＝AC得∠B=∠ACE=∠ACB=45°，可证出△BCF是等腰直角三角形，则BC=FC，即可得出结论.

（1）BD=CE.

证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE；

（2）α+β=180°
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°；

（3）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，BD=CE，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B=∠ACE=∠ACB=45°，

∴△BCF是等腰直角三角形，

∴BC=FC，

∴BC-BD=FC-CE，即EF＝DC.

故答案为：（1）BD=CE，理由见解析；（2）α+β=180°，理由见解析；（3）见解析．