Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。

Answer 1

【答案】(1)m=2,(1,4)；(2)（1,2）.

【解析】

试题分析：(1)把点B的坐标为（3，0）代入，解方程即可得m的值，求出m的值后把抛物线化为顶点式即可得抛物线的顶点坐标；（2）连接BC交抛物线的对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，利用待定系数法求得直线BC的解析式，再求点P的坐标即可.

试题解析：(1)把点B的坐标为（3，0）代入得：，

解得m=2，

∴

∵

∴顶点坐标为（1,4）.

(2)连接BC交抛物线的对称轴l于点P，此时PA+PC的值最小，

设Q是直线l上任意一点，连结AQ,CQ,BQ,

∵直线L垂直平分AB，

∴AQ=BQ,AP=BP,

∴AQ+CQ=BQ+CQ≥BC，

BC=BP+CP=AP+CP，

即AQ+CQ≥AP+CP

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

把（3,0），（0,3）代入得，

，解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

当x=1时，y=-1+3=2.

答：当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1,2）.