Question

【题目】观察图，解答下列问题．

（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22 ，
由此得，1+3=22 ．
同样，
由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32 ．
由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42 ．
由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52 ．
…
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算：1+3+5+…+99的和；
（5）计算：101+103+105+…+199的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：第八层有15个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈
（2）解：令2n﹣1=65，
得，n=33．
所以，这是第33层
（3）解：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
（4）解：1+3+5+…+99=502=2500
（5）解：101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）
=1002﹣502
=7500
【解析】（1）根据题意可知每一层圆圈个数是连续奇数，则第n层为2n+1；（2）由（1）和已知条件某一层上有65个圆圈可列方程求解；（3）根据已知条件可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；（4）由（3）可得1+3+5+…+99=502；（5）将101+103+105+…+199转化成（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）求解即可。