Question

【题目】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：
（1）△APB≌△DPC；
（2）∠BAP=2∠PAC．

Answer 1

【答案】
（1））解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．

∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP．

又∵AB=DC，PB=PC，

∴△APB≌△DPC．

（2））解：证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°．

∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．

又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．

∴△APD是等边三角形．

∴∠DAP=60°．

∴∠PAC=∠DAP﹣∠DAC=15°．

∴∠BAP=∠BAC﹣∠PAC=30°．

∴∠BAP=2∠PAC．

【解析】（1）AP=AB，PB=PC，∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP，因此可证得两三角形全等．（2）有（1）∠CAD=45°，△PAD为等边三角形，可求得∠BAP=30°∠PAC=∠PAD﹣∠CAD=15°，因此可证的结论．