Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0＜x＜20）；（2）当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ABC中，根据三角函数可求y与x的函数关系式；

（2）分三种情况：①如图1，当∠FPE=90°时，②如图2，当∠PFE=90°时，③当∠PEF=90°时，进行讨论可求x的值．

试题解析：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，∴sinC=，∵PE⊥BC于点E，∴sinC==，∵PC=x，PE=y，∴（0＜x＜20）；

（2）存在点P使△PEF是Rt△，①如图1，当∠FPE=90°时，四边形PEBF是矩形，BF=PE=x，四边形APEF是平行四边形，PE=AF=x，∵BF+AF=AB=10，∴x=10；

②如图2，当∠PFE=90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，平行四边形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x=x，解得x=16；

③当∠PEF=90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF．

综上所述，当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．