Question

【题目】如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E．
（1）求证：CA，CB是⊙O的切线；
（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，

∴四边形APBM是圆内接四边形，

∴∠M=180°﹣∠APB=60°，

∵∠AOB=2∠M=120°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠OBC=90°，

∴CB是⊙O的切线；

同理CA是⊙O的切线

（2）作ON⊥AB于N，连接OG，

当O，P，G在一条直线上时，PG最小，

∵AB=6，

∴BN=3，

∴OB=2 ，

∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB= ，

∴∠OGB=60°，OG=4，

∴PG=4﹣2 ，

此时，∠BGP=60°．

【解析】（1）连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，根据圆内接四边形的性质得到∠M=180°﹣∠APB=60°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠M=120°，求得∠BAC=60°，于是得到结论；（2）作ON⊥AB于N，连接OG，当O，P，G在一条直线上时，PG最小，解直角三角形即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形的外接圆与外心的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心才能正确解答此题．