Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.

(1)求证：△OBC≌△ABD

(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数;如果变化，请说明理由.

(3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数不会变化，理由见解析；(3) 当点C运动到(3,0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形.

【解析】

（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）根据等边三角形的性质即可得出；

（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．

(1)证明：∵△AOB、△CBD都是等边三角形

∴ BO=BA,BC=BD, ∠OBA=∠CBD=600

∴ ∠OBA+∠ABC = ∠CBD+∠ABC

∴ ∠OBC = ∠ABD

∴ △OBC≌△ABD

(2)解：在点C的运动过程中，∠CAD的度数不会变化，理由如下：

∵ △AOB是等边三角形

∴ ∠BOA =∠OAB= 60°

∵ △OBC≌△ABD

∴ ∠BAD =∠BOC= 60°

∴ ∠CAD=1800-∠0AB-∠BAD= 60°

(3)解：∵ A(1，0)

∴ OA=1

∵ ∠EOA= 900,∠EAO=∠CAD= 60°

∴ ∠OEA= 30°

∴ AE=2OA=2

∵ ∠EAC=180°-∠EAO=120°

∴ 当以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE、AC是腰

∴ AE=AC=2

∴ OC=OA+AC=3

∴ 当点C运动到(3,0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形.