Question

【题目】如图1，在同一平面内，四条线AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，AD、BC相交于点O，AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∠B＝α，∠D＝β．

（1）如图2，AM、CN相交于点P．

①当α＝β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．

②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．

（2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①当α＝β时，∠APC＝α．理由见解析；②当α＞β时，∠APC＝（α+β）；

（2）不存在．理由见解析.

【解析】

（1）①当α=β时，根据三角形内角和定理得∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，则∠OCD=∠OAB，根据角平分线定义得∠2=∠4，所以∠APC=∠D=α；②∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，则∠2+β=∠4+∠APC，2∠2+β=α+2∠4，所以∠APC=（α+β）；

（2）若AM∥CN，则∠4=∠5，由∠5=∠2+∠D得到∠4=∠2+β，同理得∠3=∠1+α，然后把两等式相加得到α+β=0，由此判断不存在AM∥CN．

（1）如图2，

①当α＝β时，∠APC＝α．理由如下：

在△ANP和△CND中，∠2+∠D＝∠4+∠APC，

在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D＝∠B+∠OAB，

∵∠D＝∠B＝α，

∴∠OCD＝∠OAB，

∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，

∴∠OCD＝2∠2，∠OAB＝2∠4，

∴∠2＝∠4，

∴∠APC＝∠D＝α；

②当α＞β时，∠APC＝（α+β）；

∵∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，

∴∠2+β=∠4+∠APC，2∠2+β=α+2∠4，

∴∠APC=∠2-∠4+β，∠2-∠4=α-β

∴∠APC=α-β+β=α+β，

所以∠APC=（α+β）；

（2）不存在．理由如下：

如图1，

若AM∥CN，则∠4＝∠5，

∵∠5＝∠2+∠D，

∴∠4＝∠2+β，

同理得∠3＝∠1+∠B，即∠3＝∠1+α，

∴∠3+∠4＝∠1+∠2+α+β，

∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，

∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，

∴α+β＝0，

∴不存在AM∥CN．