Question

【题目】已知：在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向终点运动；同时，动点也从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向终点运动．设两点运动的时间为秒．

连接，在点、运动过程中，与是否始终相似？请说明理由；

连接，设的面积为，求关于的函数关系式；

连接、，是否存在的值，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

探索：把沿直线折叠成，设与交于点，当是直角三角形时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】相似，理由见解析；∴；存在，的值为；，．

【解析】

（1）已知AC、BC的长，根据勾股定理即可求得AB的长，根据，进而即可求得△APQ∽△ABC.

（2）根据△APQ∽△ABC即可求得，即可求得S关于t的方程式.

（3）先求证△PCQ∽△QBC进而可以得，即，求得t的值即可解题.

（4）分别用t表示PE、EQ、BQ的值，根据勾股定理即可求得t的值，即可解题.

(1)相似

∵∠ACB=〖90〗^

∴AB=√(AC^2+BC^2 )=5

∵PA=5/4 t，AQ=t

∴PA/AB=AQ/BC=t/4

∵∠A=∠A

∴△APQ∽△ABC

(2)∵△APQ∽△ABC

∴∠PQA=∠C=〖90〗^

∵PQ/BC=AQ/AC

∴PQ/3=t/4

∴PQ=3/4 t

∵CQ=4-t

∴S=1/23/4 t(4-t)=-3/8 t^2+3/2 t

(3)存在

∵PC⊥BQ

∴∠PCQ+∠BQC=〖90〗^

∵∠CBQ+∠BQC=〖90〗^

∴∠PCQ=∠CBQ

∵∠PQC=∠BCQ=〖90〗^

∴△PCQ∽△QBC

∴PQ/CQ=CQ/BC

∴(3/4 t)/(4-t)=(4-t)/3

∴t_1=(41+3√73)/8（舍去）t_2=(41-3√73)/8

∴存在t的值为(41-3√73)/8，使PC⊥BQ．

(4)t_1=1，t_2=7/4．