Question

【题目】已知，是的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点．

如图，求证：平分；

如图，直线与的延长线交于点，的平分线交于点，交于点，求证：；

在的条件下，如图，若，，求的长．

Answer 1

【答案】证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）连接OC，根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠ECG=∠EGC，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△ECB∽△EAC，根据相似三角形的性质求得，在直角△EOC中利用勾股定理列方程求得BE和CE，进而求得BG，然后根据△AGF∽△CGB，根据相似三角形的性质求得FG的长．

证明：连接，如图，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

即平分；

证明：如图，∵是的切线，

∴，

∵，，，

∴，

∴；

解：如图，连接、、．

∵是直径，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

∵是直径，

∴．

∴，

∵，，

∴．

∴．

设，则，在中，，

解得，．

∵，∴，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∴．