Question

【题目】已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB、OA为边作矩形OBCA，点E、H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处．

（1）如图1，求证：四边形OECH是平行四边形；
（2）如图2，当点B运动到使得点F、G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；

（3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，如图3，如图4，分别求点B的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵四边形OBCA为矩形，

∴OB∥CA，BC∥OA，

∴∠BOC=∠OCA，

又∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，

∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，

∴∠EOC=∠OCH，

∴OE∥CH，

又∵BC∥OA，

∴四边形OECH是平行四边形；

（2）解：点B的坐标是（0， ）；四边形OECH是菱形．理由如下：如图2，

∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，

∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，

∵点F，G重合，

∴EH⊥OC，

又∵四边形OECH是平行四边形，

∴平行四边形OECH是菱形，
∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

又∵∠EOC=∠BOE，

∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，

又∵点A的坐标是（5，0），

∴OA=5，

∴BC=5，

在Rt△OBC中，OB= BC= ，

∴点B的坐标是（0， ）；

（3）解：①当点F在点O，G之间时，如图3，

∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，

∴OF=OB，CG=CA，

而OB=CA，

∴OF=CG，

∵点F，G将对角线OC三等分，

∴AC=OF=FG=GC，

设AC=m，则OC=3m，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴m2+52=（3m）2，解得m= ，

∴OB=AC= ，

∴点B的坐标是（0， ）；

②当点G在O，F之间时，如图4，

同理可得OF=CG=AC，

设OG=n，则AC=GC=2n，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴（2n）2+52=（3n）2，解得n= ，

∴AC=OB=2 ，

∴点B的坐标是（0，2 ）．

【解析】（1）如图1，根据矩形的性质得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行线的性质得∠BOC=∠OCA，然后根据折叠的性质得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，故∠EOC=∠OCH，根据平行线的判定定理得OE∥CH，又BC∥OA，于是可根据平行四边形的判定方法得四边形OECH是平行四边形；
（2）如图2，先根据折叠的性质得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由点F，G重合得到EH⊥OC，根据菱形的判定方法得到平行四边形OECH是菱形，则EO=EC，根据等边对等角得∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根据三角形内角和定理可计算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OB ，从而得出B点的坐标；

（3）分类讨论：①当点F在点O，G之间时，如图3，，根据折叠的性质得OF=OB，CG=CA，则OF=CG，故AC=OF=FG=GC，设AC=m，则OC=3m，在Rt△OAC中，根据勾股定理得出方程，解方程得m的值，从而找到OA=AC的长，得出B点坐标；
②当点G在O，F之间时，如图4，，同理可得OF=CG=AC，设OG=n，则AC=GC=2n，在Rt△OAC中，OA=5，根据勾股定理得出方程，解出方程即得出AC=OB的长，进而得出B点的坐标。

【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的判定与性质的相关知识，掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质，以及对平行四边形的判定的理解，了解两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．