Question

【题目】定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．

（1）如图1，已知A（3，2），B（4，0），请在x轴上找一个C，使得△OAB与△OAC是偏差三角形．你找到的C点的坐标是______，直接写出∠OBA和∠OCA的数量关系______．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D+∠B=180°，问△ABC与△ACD是偏差三角形吗？请说明理由．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，AC与BD交于点P，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC＜90°，且点C到直线BD的距离是3，求△ABC与△BCD的面积之和．

Answer 1

【答案】（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；

（2）在AD上取一点H，使得AH=AB，易证△CAH≌△CAB，进而可得∠D=∠CHD，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；

（3）延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，由SAS可证BDCEAB，得EA=BD，点B到直线EA的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．

（1）∵当AC=AB时，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，

∴点C的坐标为（2，0），如图1，

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠ABC，

∵∠OCA+∠ACB=180°，

∴∠OBA+∠OCA=180°，

故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；

（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：

如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAH=∠CAB，

又∵ AC=AC，

∴△CAH≌△CAB（SAS），

∴CH=CB，∠B=∠AHC，

∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，

∴∠D=∠CHD，

∴CH=CD，

∴CB=CD，

∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，

∴△ABC与△ACD是偏差三角形；

（3）如图3中， 延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，

∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，

∴∠BDC=∠BAE，

又∵AB=CD，

∴BDCEAB（SAS），

∴EA=BD，

∵点C到直线BD的距离是3，

∴点B到直线EA的距离是3，

∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=（AC+EA）×3 =（AC+BD）×3 =×9×3=．