Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．

（1）求证：点E与点D关于x轴对称；

（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）， ，

【解析】试题分析：（1）首先求出A、B、C、D的坐标，再根据△EFB∽△BOC对应边成比例得出方程，推出EF的长度，求出点E的坐标即可解决问题；

（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．构建 二次函数，利用二次函数的性质求出点P的坐标，作点O关于对称轴的对称点O′，作点P关于Y轴的对称点P′，连接O′P′，分别交对称轴、y轴于点M、N，此时M、N即为所求；

（3）由题意得F，A，D三点的坐标，设平移距离为 t，则得出A′，D′的坐标，可得A′F2，D′F′2，，A′D′2的长度，然后分三种情形：①当A′F2=D′F′2时，②当A′F′2=A′D′2时，③当D′F′2=A′D′2时列出方程即可解决问题．

试题解析：解：（1）如图1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣ ，0），B（3 ，0）．

令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

∵y= x2﹣ x﹣3=（x﹣ ）2﹣4，∴顶点D（ ，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF=2 ．

∵△EFB∽△BOC，∴ EF：OB=BF：OC，∴ ，∴EF=4，∴E（ ，4），∴E、D关于x轴对称；

（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．

∵yAE= x+2，∴设P（a， a2﹣a﹣3），Q（a， a+2），（0＜a＜3），∴PQ=（a+2）﹣（a2﹣a﹣3）=﹣a2+2 a+5，∴S△PAE= PQ|xE﹣xA|= （﹣a2+2a+5）2=﹣a2+4a+5，∴当a= =2时，S△PAE最大，此时P（2，﹣3）．

作点O关于对称轴的对称点O′（2，0），作点P关于Y轴的对称点P′（﹣2，﹣3）．连接O′P′，分别交对称轴、y轴于点M、N，此时M、N即为所求．

∴yP′O′=x﹣，当x=时，y=﹣，∴M（，﹣），∴OM+MN+NP的最小值O′P′== ；

（3）∵F′（，﹣），A（﹣+t，﹣2t），D（，﹣4），

设平移距离为 t，则A′（﹣ + t，﹣2t），D′（ +t，﹣4﹣2t），

A′F2=6t2﹣24t+，D′F′2=6t2+，A′D′2=24，

①当A′F2=D′F′2时，6t2﹣24t+ =6t2+，解得t=1．

②当A′F′2=A′D′2时，6t2﹣24t+ =24，解得t=．

③当D′F′2=A′D′2时，24=6t2+ ，解得t=或﹣（舍弃），

∴平移的距离t= ， ， ．