Question

【题目】如图，是等边三角形，上有点D，分别以为边作等边和等腰，边、交于点H，点F在延长线上且，连接．求证：

（1）；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由等边三角形的性质可证AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=60°，进一步推出∠ABD=∠CBE，由SAS即可证得△ABD≌△CBE；

（2）先证∠CDH=∠HBE，由DF=DB可推出∠F=∠CDE，由△ABD≌△CBE可得到CE=AD，由AAS证得△FAD≌△DCE，得到FA=DC，即可推出结论BC=AF+CE．

证明：（1）∵△ABC与△BDE为等边三角形，

∴AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=60°，

∴∠ABC∠DBC=∠DBE∠DBC，即∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS）；

（2）∵△ABC与△BDE为等边三角形，

∴∠CAB=∠ABC=∠ACB=60°，∠BED=60°，DB=DE，

在△DCH与△BEH中，

∵∠DCH=∠BEH=60°，∠DHC=∠BHE，

∴∠CDH=∠HBE，

由（1）知∠ABD=∠CBE，

∴∠CDE=∠ABD，

又∵△BDF为等腰三角形，则DB=DF，

∴∠F=∠ABD，DF=ED，

∴∠F=∠CDE，

由（1）知△ABD≌△CBE，

∴∠ECB=∠DAB=60°，CE=DA，

∴∠DCE=∠ECB+∠DCB=120°，∠FAD=180°∠CAB=120°，

∴∠DCE=∠FAD，

在△FAD和△DCE中，

，

∴△FAD≌△DCE（AAS），

∴FA=CD，

∴AF+CE=CD+AD=AC=BC，

即BC=AF+CE．