Question

【题目】如图1所示在平面直角坐标系中，有长方形OABC，O是坐标原点，A(a,0）,C（0，b），且a,b满足

（1）求A,B,C三点坐标；

（2）如图2所示，长方形对角线OB、AC交于D点，若有一点P从A点出发，以1单位/秒速度向x轴负方向匀速运动，同时另一点Q从O出发，以2个单位/秒，沿长方形边长O-C-B顺时针匀速运动，当Q到达B点时P、Q同时停止运动，设P点开始运动时间为t，请问：当t为何值时有S△OCP≤S△ODQ ？

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）B（4，8）C（0，8）；（2）≤t<4或4<t≤5.

【解析】

(1)由算术平方根的被开方数为非负数可求得a的值，继而求得b的值，再根据长方形的性质即可求得答案；

(2)分0≤t<4，t=4，4<t≤6三种情况分别讨论即可求得答案.

(1)由，得

，

解得a=4，

所以b-2=6，

解得b=8，

所以A(4，0)，C(0，8)，

所以OA=4，OC=8，

又因为ABCD是长方形，

所以AB=OC=8，BC＝OA=4，

所以C(4，8)；

(2)过D作DE⊥OC于点E，则有DE=2，OE=CE=4，

①当0≤t<4时，如图(1)，

S△OCP=OC·OP=×8×(4-t)，

S△ODQ=OQ·DE=×2t×2，

令S△OCP≤S△ODQ，

即有×8×(4-t)≤×2t×2，

解得t≥；

②当t=4时，△OPC不存在，舍去；

③当4<t≤6时，如图(2)

S△OCP=OC·OP=×8×(t-4)，

S△ODQ=S△OBC-S△OCQ-S△DBQ=OC·BC-OC·CQ-BQ·CE

=×4×8-×8×(2t-8)-×(8+4-2t)×4，

令S△OCP≤S△ODQ，

即有×8×(t-4)≤×4×8-×8×(2t-8)-×(8+4-2t)×4，

解得 t≤5，

综上所述，当≤t<4或4<t≤5时成立.