Question

【题目】如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 y=0，得 x2+x﹣2=0 解得 x1=﹣2， x2=1，

∴A（﹣2，0），B（1，0），

由 x=0，得 y=﹣2，

∴C（0，﹣2）

（2）

解：连接AC与对称轴的交点即为点P．

设直线 AC 为 y=kx+b，则﹣2k+b=0，b=﹣2：得 k=﹣1，y=﹣x﹣2．

对称轴为 x=﹣ ，当 x=﹣ 时，y=_（﹣ ）﹣2=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：过点M作MN丄x轴与点N，

设点M（x，x2+x﹣2），则AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，

S 四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC= （x+2）（﹣x2﹣x+2）+ （2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+ ×1×2

=﹣x2﹣2x+3

=﹣（x+1）2+4．

∵﹣1＜0，

∴当x=_l时，S四边形ABCM的最大值为4

【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN丄x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，根据S 四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．