Question

【题目】如图甲所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. BF与CE相交于点M

（1）求证：①△ACE≌△AFB；②EC⊥BF.

（2）如图乙连接EF，画出△ABC边BC上的高线AD,延长DA交EF于点N，其他条件不变，下列四个结论：①∠EAN=∠ABC；

②△AEN≌△BAD；③；④EN=FN。

正确的结论是____________（把正确结论的序号全部填上）

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）①③④.

【解析】

（1）先根据AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC判定△ACE≌△AFB（SAS）；再根据全等三角形的性质得出∠ACM=∠AFM，根据Rt△ACF中，∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，可得∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，即△MCF是直角三角形，进而得出结论；
（2）先作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，构造三对全等三角形：△AEH≌△BAD，△AFK≌△ACD，△FKN≌△EHN，根据全等三角形的面积相等，即可得出S△ABD=S△EAH，S△FKA=S△ADC，S△ENH=S△FNK，根据S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△AEH+S△AFK=（S△EAN-S△ENH）+（S△FNA+S△FNK）=S△EAN+S△FNA=S△AEF，即可得出结论③；最后根据△FKN≌△EHN，得出FN=EN即可．

(1)证明：①∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAF=∠EAC，

在△ACE和△AFB中，

∴△ACE≌△AFB(SAS)；

②∵△ACE≌△AFB，

∴∠ACM=∠AFM，

∵Rt△ACF中,∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，

∴∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，

即△MCF是直角三角形，

∴∠CMF=90°，即CE⊥BF；

(2)∵∠BAE=90°，AD⊥BD，

∴∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD，

∴∠EAN=∠ABC，故①正确；

∵∠AEN与∠BAD不一定相等，

∴△AEN与△BAD不一定全等，故②错误；

作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，

∴∠AEH+∠EAH=90°，

∵∠EAB=90°，

∴∠EAH+∠BAD=90°，

∴∠AEH=∠BAD，

在△AEH和△BAD中，

∴△AEH≌△BAD(AAS)，

∴EH=AD，

同理可得：△AFK≌△ACD，

∴FK=AD，

∴FK=EH，

在△FKN和△EHN中，

∴△FKN≌△EHN(AAS)，

∴

即故③正确；

∵△FKN≌△EHN，

∴FN=EN，故④正确.

故答案为：①③④.