Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC．

∵OA=OC．

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠MAC=∠OAC，

∴∠MAC=∠OCA，

∴OC∥AM，

∵CD⊥AM，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，

∴AC=2AD=8，CD= AD=4 ，

∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）

= ×4×4 ﹣（ ﹣ ×82）

=24 ﹣ π

【解析】（1）先证明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解决问题．（2）根据S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）计算即可．