Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（，0）、D（，3），点B、C在第二象限内．

（1）点B的坐标 ；

（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（-2，1）；（2）t=4，反比例函数解析式为；

（3）当B′D′为对角线时，，；当B′D′为边时，，或，

【解析】分析：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；

（2）设反比例函数为y=，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．

详解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，

∴∠ADE=∠BAF．

在△ADE和△BAF中，

，

∴△ADE≌△BAF（AAS），

∴DE=AF，AE=BF．

∵点A（-6，0），D（-7，3），

∴DE=3，AE=1，

∴点B的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）．

故答案为：（-3，1）．

（2）设反比例函数为y=，

由题意得：点B′坐标为（-3+t，1），点D′坐标为（-7+t，3），

∵点B′和D′在该比例函数图象上，

∴k=（-3+t）×1=（-7+t）×3，

解得：t=9，k=6，

∴反比例函数解析式为y=．

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．

以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：

当B′D′为对角线时， ，

当B′D′为边时， ，或 ，