Question

【题目】【观察发现】

如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系，以及直线DE与直线BG的位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）

【深入探究】

如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．

【拓展应用】

如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点O，连接OA，OB，OA，OB长分别为、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD．随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】【观察发现】DE=BG，DE⊥BG；【深入探究】仍然成立，理由见解析；【拓展应用】最大值为8；

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；

（2）结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；

（3）以OA为边做正方形OAGF，连接OG、BG，则OC=OA=4，当G、O、B三点共线时，BG最长，此时BG=OC+OB=4+4=8，从而确定正确的答案．

解：【观察发现】：DE=BG，DE⊥BG；

【深入探究】：【观察发现】中的结论仍然成立，即DE=BG，DE⊥BG；

理由：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，

∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAG=∠DAE（1分），

∵在△BAG与△DAE中，

，

∴△BAG≌△DAE（SAS），

∴BG=DE，∠ABG=∠ADE，

设线段DE分别与BG、AB相交于点P、Q两点，

由∠BAD=90°得∠ADE+∠AQD=90°，

∴∠ABG+∠PQB=90°，

∴∠BPQ=90°，

即DE⊥BG；

【拓展应用】以OA为边做正方形OAGF，连接OG、BG，则OG=OA=4，

由【深入探究】可得OD=BG，

当G、O、B三点共线时，BG最长，此时BG=OG+OB=4+4=8，

即线段OD长的最大值为8．