Question

【题目】图中是一副三角板，45°的三角板 Rt△DEF 的直角顶点 D 恰好在 30°的三角板 Rt△ABC 斜边 AB 的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE 交 AC 于点 G，GM⊥AB 于 M．

（1）如图①，当 DF 经过点 C 时，作 CN⊥AB 于 N，求证：AM＝DN；

（2）如图②，当 DF∥AC 时，DF 交 BC 于 H，作 HN⊥AB 于 N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【解析】

根据题干可推知,本题主要考查了特殊三角形的判定及性质.

(1)根据指教三角形斜边的中线的性质,先证出△BCD是等边三角形，再利用等腰三角形三线合一的定理，可得出DN=BD，∠ADG=30°, 那么△ADG是等腰三角形，可得出AM=AD,所以可证出AM=DN;

(2)根据全等三角形的判定定理及性质定理,先证△ADG≌△DBH,在此基础上再证△AGM≌△DHN,从而得出AM=DN.

(1)证明:∵∠ACB= 90°，D是AB的中点，

∴CD= AD= BD

又∵∠B=90°-∠A=60°,

∴△BCD是等边三角形,

又∵CN⊥DB，

∴DN=BD,

∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形，

∴∠ADG= 30°,而∠A = 30°,

∴GA = GD,

∵GM⊥AB，

∴AM=AD;

又∵AD=DB，

∴AM = DN.

故AM = DN得证.

(2) (1)的结论仍然成立，理由如下

∵DF//AC,

∴∠1=∠A =30°,∠AGD=∠GDH =90°,

∴∠ADG = 60°.

∵∠B=60° ,AD= DB,

∴△ADG≌△DBH,

∴ AG= DH.

又∵∠1= ∠A, GM⊥AB , HN⊥AB,

∴△AMG≌△DNH，

∴ AM= DN.

故(1)的结论仍然成立.