Question

【题目】如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)．

(1)求x为何值时，PQ⊥AC；

(2)设△PQD的面积为，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

(3)当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

(4)探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝；（3）详见解析；（4）当 或或 ＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

【解析】试题分析：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；（2）当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N，用x表示出PD、QN的长，根据三角形的面积公式即可求得y与x的函数关系式；（3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；（4）根据题意可知不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，由（1）可知当x＝时，以PQ为直径的圆与AC相切；当点Q在AB上时，8－2x＝，解得x＝，当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切；根据直线与圆相交的条件可知当 或或 ＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

试题解析：

(1)当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，

当Q在AC上时，由题意得，BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x；

∵AB＝BC＝CA＝4，∴∠C＝60°；

若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，∴4－x＝2×2x，

∴x＝；

(2)如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；

∵∠C＝60°，QC＝2x，

∴QN＝QC＝x；

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴DP＝2－x，

∴y＝PD﹒QN＝x＝；

(3)当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC＝2x，∠C＝60°，NC＝x，

∴BP＝NC，

∵BD＝CD，

∴DP＝DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP＝OQ，

∴ ，

∴AD平分△PQD的面积；

(4)显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，

由(1)可知，当x＝时，以PQ为直径的圆与AC相切；当点Q在AB上时，8－2x＝，解得x＝，

故当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切，

当 或或 ＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．