Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．

(1) 求证：AC是⊙O的切线；

(2) 已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】（1）证明参见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连半径OD证垂直即可，利用BD平分∠ABC，OD=OB，可以推出∠ODB=∠DBC．得到OD∥BC，又因为∠C = 90°，所以∠ADO = 90°，从而得出结论；（2）因为OD∥BC，所以△AOD∽△ABC．得出对应线段成比例，即，代入数据得，于是求出半径r.

试题解析：（1）连接OD． ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC．∴OD∥BC，又∵∠C = 90°，∴∠ADO = 90°.∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；（2）由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC．∴，即．解得，即⊙O的半径r为．