Question

【题目】已知，如图，将∠D＝60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE. 点M为BC边上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN.

（1）求证：∠ANB＝∠AMC；

（2）探究△AMN的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）①先由菱形可知四边相等，再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC，则对角线AC与四边都相等，利用ASA证明△ANB≌△AMC，得结论；

②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：△AMN是等边三角形；

试题解析：（1）∵ABCD为菱形，

∴AB=AD=CD=BC，

又∵∠D=60°，

∴△ADC为等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴AC=AB=BC，

又∵△BCE≌△ADC，∠CBE=∠DAC=60°，

∴∠CBN=120°

∵∠ANB=360°－∠CBN－∠MAN－∠BMA=180°－∠BMA，∠AMC=180°－∠BMA

∴∠ANB=∠AMC.

（2）∵AC=AB=BC，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°.

∵∠MAN=60°，

∴∠MAN=∠BAC，

∴∠MAN－∠BAM=∠BAC－∠BAM，即∠BAN=∠CAM，

又∵∠ANB=∠AMC，AB=AC，

∴△BAN≌△CAM，

∴AN=AM,

∵∠MAN=60°，

∴△AMN为等边三角形.