Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．

（1）当α=　 　°，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形．

①α=　 　°，构造的四边形是菱形；

②若构造的四边形是矩形，求出该矩形的面积．

Answer 1

【答案】（1）当α=90°，四边形ABEF是平行四边形（2）①45或90②

【解析】

（1）由AB⊥AC得到∠BAC=90°，然后根据平行四边形的对角线互相平分，可得AB=OA=2，即△AOB是等腰直角三角形，则∠AOB=45°，再根据平行四边形的判定，当EF∥AB时，四边形ABEF是平行四边形，可得EF⊥AC，根据旋转的性质可得α=90°；

（2）①同（1）的判断，由菱形的判定可得到α的度数；

②先根据勾股定理求出BC的长，然后根据同一个三角形的面积的不同求法，得到平行线间的距离，由矩形的判定与性质，可得分情况求解.

(1) 90°；

(2)① 45°或90°；

②∵AB⊥AC，AB=2，AC=4，∴BC=2，

根据条件，可得AD与BC的距离h=.

如图①，

当EF=AC时，四边形AECF为矩形，矩形AECF的对角线长为4，

∴，

∴矩形AECF的面积=.

如图②，

当EF=BD时，四边形AECF为矩形，矩形AECF的对角线长为4，

∴，

∴矩形AECF的面积=.