Question

【题目】如图，在中，分别是的中点，，连接交于点．

（1）求证：；

（2）过点作于点，交于点，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AN的长为2．

【解析】

(1)利用平行四边形的性质及中点的性质即可证得结论；

(2)先判定四边形CDMN是平行四边形，再判断其为菱形，利用菱形的性质，判断△MNC为等边三角形，从而求得∠1=∠2=∠MND=30°，在中，利用特殊角，求出EN，进而求出线段AN的长．

(1)在平行四边形ABCD中，∠B=∠ADC，AB=CD，

∵M，N分别是AD，BC的中点，

∴BN=BC=AD=DM，

∴△ABN ≌△CDM；

(2)∵在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，

∴，，

∴四边形CDMN为平行四边形，

∵在中，M为AD中点，

∴ MN=MD，

∴平行四边形CDMN为菱形；

∴∠MND=∠DNC=∠1=∠2，

∵CE⊥MN，∠MND+∠DNC+∠2=90°，

∴∠MND=∠DNC=∠2=30°，

在中，∵PE=1，∠ENP=30°，

∴EN=，

在中，∵EN=，∠2=30°，

NC=2 EN =2，

∵∠MNC=∠MND+∠DNC＝60°，

∴△MNC为等边三角形，又由(1)可得，MC=AN，

∴AN=MC=NC=2，

∴AN的长为2．