Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

（1）①求抛物线的解析式；②求sin∠ACP的值
（2）设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，求出当这两个三角形面积之比为9：10时的m值；
③是否存在适合的m值，使△PCD与△PBD相似？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①当y=0时， x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），

当y=3时， x+1=3，解得x=4，则B（4，3），

把A（﹣2，0），B（4，3）代入y=ax2+bx﹣3得 ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣3；

②过B作BE⊥x轴于点E，如图1，

AE=4﹣（﹣2）=6，AB= =3 ，

在Rt△ABE中，sin∠ABE= = = ，

∵PC∥BE，

∴sin∠ACP=sin∠ABE= ；

（2）

解：设P（m， m2﹣ m﹣3），则C（m， m+1），BM=4﹣m，

∴PC= m+1﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+m+4，

∵sin∠ACP= = ，

∴PD=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣1）2+ ，

当m=1时，线段PD长的最大值为 ；

②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，如图，

∵sinP=sin∠BAE= = ，

∴ = ，

∴DN= （ m2+ m+ ）=﹣ m2+ m+ ，

∵DN∥BM，

∴ = ，

∵线段PC把△PDB分成两个三角形的面积之比为9：10，

∴当 = = ，即 = ，

整理得2m2﹣13m+20=0，解得m1= ，m2=4（舍去）；

当 = = ，即 = ，

整理得9m2﹣68m+128=0，解得m1= ，m2=4（舍去）；

综上所述，m的值为 或 ；

③存在．

如图2，连接PB交x轴于Q，

∵∠PDC=∠BDP，

∴当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP，

而∠DPC=∠BAE，

∴∠BAE=∠ABP，

∴QA=QB，

设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，

在Rt△BQE中，（4﹣t）2+32=t2，解得t= ，则Q（ ，0），

设直线BQ的解析式为y=px+q，

把B（4，3），Q（ ，0）代入得 ，解得 ，

∴直线BQ的解析式为y= x﹣ ，

解方程组 得 或 ，

∴P（﹣ ，﹣ ），

∴m=﹣ ．

【解析】（1）①由直线解析式可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得a、b的值，则可求得抛物线解析式；②过B作BE⊥x轴于点E，在Rt△ABE中可求得sin∠ABE，则可求得sin∠ACP；（2）①用m可表示出C点坐标，则可表示出PC的长，利用其正弦值可表示出PD的长，利用二次函数的性质可求得其最大值；②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，则可用m表示DN和BM，由面积的比得到DC与BC的比，然后利用相似比可得到m的方程，可求得m的值；③如图2，连接PB交x轴于Q，只有当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP，于是可证明QA=QB，设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，利用勾股定理得到（4﹣t）2+32=t2 ， 解得t= ，则Q（ ，0），再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y= x﹣ ，然后解方程组 得P点坐标，从而得到m的值．