Question

【题目】如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、EM、FM．

（1）当t＝1时，求点F的坐标．

（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？

（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？

Answer 1

【答案】（1）点F（2，1）；（2）t＝；（3）t＝4﹣4

【解析】

（1）t=1时，可以求出E点坐标(1，2)，并算出经过它的双曲线解析式 ，F点和B点的横坐标相同，把B点横坐标x=2代入就可算出F点坐标．

（2）因为AEBC,所以,又因为EB平分,所以, EF=BF, 在通过坐标用含t的代数式表示EF和BF的长，建立等量关系就可以算出t的值．

（3）通过坐标用含t的代数式分别表示出EM，MF，EF的长，因为是直角，所以是直角三角形，运用勾股定理建立等量关系，算出t即可．

（1）t=1时，E点坐标为(1,2),F点横坐标x=2，

设经过E的双曲线为，

把E点坐标代入得：，

再把F点横坐标x=2代入，

得y=1,所以F点坐标为(2,1)．

（2）因为A点坐标为(1,0)，G点坐标为(1，1)，

则t秒后，E点坐标可以表示为(1,1+t)，

B点坐标可以表示为(1+t，0)，

设经过E点双曲线为：，

把E点坐标代入得：，

F点也在双曲线上，F点横坐标和B相同，

把x=1+t代入函数得，

y=1,所以F点坐标为(1+t，1)，

因为AEBC,所以，

又EB平分,所以, EF=BF，

即 ，

解得t=．

（3）因为D点坐标为(1,3)，M为DC中点，则M点坐标为(1,)，

又是直角，所以是直角三角形，

由勾股定理，

得： ，

解得t=.