Question

【题目】问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC，BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．

（1）△ABC和△DCF面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）

（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．

图1

图2

图3

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）成立，理由见解析；（3）阴影部分的面积和有最大值,最大值为25

【解析】解：（1）相等；

（2）成立；理由如下：

如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE、四边形BCFG均为正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，

∴∠ACP=∠DCQ．

∴△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

又∵S△ABC=BCAP，S△DFC =FCDQ，

∴S△ABC=S△DFC.

（3）图中阴影部分的面积和有最大值

理由：由（2）的结论可知：

设AC=m,则BD=10-m, ∵AC⊥BD.

∴.

∴

∴阴影部分的面积和有最大值,最大值为25