Question

【题目】已知：A（0，3），B（3，0），C（3，4）三点，点P（x，﹣0.5x），当△ABP的面积等于△ABC的面积时，则P点的坐标是_____．

Answer 1

【答案】（﹣2，1）或（14，﹣7）．

【解析】

先计算△ABC的面积，根据x的正、负分两种情况进行讨论：
第一种情况：当x＜0时，如图2，根据S△ABP=S梯形AEFB-S△AEP-S△BFP，列方程可得结论；
第二种情况：当x＞0时，如图3，同理可得结论．
也可以作AB的平行线（两条），根据AB的解析式：y=-x+3，根据面积可求得平行线与y轴的交点，可得平行线的解析式为：y=-x-1和y=-x+7，最后利用P点的坐标解决问题．

解：如图1，

∵A（0，3），B（3，0），C（3，4），

∴BC＝4，A到BC的距离为3，

∴△ABC的面积为 ＝6，

分为两种情况：第一种情况：当x＜0时，如图2，

过P作PF⊥x轴于F，过A作AE⊥PF于E，

∵A（0，3），B（3，0），P（x，﹣0.5x），

∴AE＝﹣x，EF＝3，BF＝3﹣x，PF＝﹣0.5x，PE＝3﹣（﹣0.5x）＝3+0.5x，

∴S△ABP＝S梯形AEFB﹣S△AEP﹣S△BFP

＝（﹣x+3﹣x）3﹣（﹣x）（3+0.5x）﹣（3﹣x）（﹣0.5x）

＝﹣x+,

∵△ABP的面积等于△ABC的面积，△ABC的面积为6，

∴﹣x+＝6，

解得：x＝﹣2，

﹣0.5x＝1，

所以此时P点的坐标为（﹣2，1）；

第二种情况：当x＞0时，如图3，

作矩形AEPF（E在y轴上），

S△ABP＝S矩形AEPF﹣S△AFP﹣S梯形OEPB﹣S△AOB＝（3+0.5x）x﹣x（3+0.5x）﹣（3+x）0.5x﹣＝6,

解得：x＝14，

所以此时P点的坐标为（14，﹣7）；

综上所述，则P点的坐标是（﹣2，1）或（14，﹣7）．

故答案为：（﹣2，1）或（14，﹣7）．