Question

【题目】已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．

（1）求点B的坐标；

（2）求直线AE的表达式；

（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．

Answer 1

【答案】（1）B（8，0）；（2）直线AE的表达式为y=-2x+6； (3) △OFB为等腰三角形，S△OBF=8.

【解析】试题分析：（1）对于一次函数y=-x+6，令y=0和x=0求出对应的x与y的值，确定出OA及OB的长，即可确定出B的坐标；

（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出AB的长，过E作EG垂直于AB，由AE为角平分线，利用角平分线定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE与直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，设OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OE的长，得出E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），将A和E的坐标代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可得到直线AE的解析式；

（3）延长BF与y轴交于K点，由AF为角平分线得到一对角相等，再由AF与BF垂直得到一对直角相等，以及AF为公共边，利用ASA得出三角形AKF与三角形ABF全等，可得出AK=AB，利用三线合一得到F为BK的中点，在直角三角形OBK中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OF为BK的一半，即OF=BF，过F作FH垂直于x轴于H点，利用三线合一得到H为OB的中点，由OB的长求出OH的长，即为F的横坐标，将求出的横坐标代入直线AE解析式中求出对应的纵坐标，即为HF的长，以OB为底，FH为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形BOF的面积；

试题解析：（1）对于y=- x+6，

当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，

∴OA=6，OB=8，

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，

则A（0，6），B（8，0）；

（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G

∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，

∴EG=OE，

在Rt△AOE和Rt△AGE中，

∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），

∴AG=AO，

设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，

在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，

根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，

解得：x=3，

∴E（3，0），

设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0），

将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得： ，解得

则直线AE的表达式为y=-2x+6；

(3)延长BF交y轴于点K，

∵AE平分∠BAO，

∴∠KAF=∠BAF，

又BF⊥AE，

∴∠AFK=∠AFB=90°

∵AF=AF

∴△AFK≌△AFB，

∴FK=FB，即F为KB的中点，

又∵△BOK为直角三角形，

∴OF= BK=BF，

∴△OFB为等腰三角形，

过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图2所示），

∵OF=BF，FH⊥OB，

∴OH=BH=4，

∴F点的横坐标为4，

设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，

FH=|-2|=2，

则S△OBF= OBFH= ×8×2=8；