Question

【题目】如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．

（1）探索发现
当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；
（2）延伸拓展
当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；
（3）应用推广
如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：PB⊥AK，PB=PK+AK；

理由：如图2中，

∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，

又∠ABK=∠CBK=45°，

在△BKA和△BKC中，

∴△ABK≌△CBK，

∴∠2=∠3且AK=CK，

∴∠PBC=∠3．

又∠PBC+∠4=90°，

∴∠3+∠4=90°，

即PB⊥AK．

∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

（2）

以上两个结论仍然成立，

理由如下：如图1中，

∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，

又∠ABK=∠CBK=45°，

在△BKA和△BKC中，

∴△ABK≌△CBK，

∴∠2=∠3且AK=CK，

∴∠PBC=∠3．

又∠PBC+∠4=90°，

∴∠3+∠4=90°，

即PB⊥AK．

∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

（3）

如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD．

∵FD∥BD，

∴△FDK∽△CBK．

又DK：BK=1：3，

∴FD：BC=1：3．

∵FD：AD=1：3，

∴BC=AD．

∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD，

∴四边形ABCD为正方形．

∵PB=PK+AK，

即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF，

∴BE=FK+AK．

在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3，

∴BE= = ．

∵AG⊥BE（上一问结论），

∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比为1：3，

设EG=t，AG=3t，BG=9t，

∴BE=10t= ，

∴ ．

∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）﹣AG+EG

=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= ．

过点K作AD垂线，垂足为H，

∵HK∥AB且DK：DB=1：4，

∴KH= AB= ，

∴S四边形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= AFKH﹣ AGEG= 2 ﹣ 3tt= ．

【解析】●探索发现 PB⊥AK，PB=PK+AK，只要证明∠3=∠4=90°即可证明PB⊥AK，由△ABK≌△CBK，结合PB=PC即可解决问题．
●延伸拓展 以上两个结论仍然成立，证明方法类似上面．
●应用推广 如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD，利用上面结论结合条件即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．