Question

【题目】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．

（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；

（2）如果BC平分∠DBF，∠CDB=45°，BD=2，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AC=2．

【解析】整体

(1)证明四边形DBCF的两组对边分别平行；(2)作CM⊥BF于F，△CFM是等腰直角三角形，求出CM的长即可得到AC的长.

解：(1)证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．

∴BD∥CF，CD∥BF，

∴四边形DBFC是平行四边形；

(2)解：∵四边形DBFC是平行四边形，

∴CF=BD=2，∠F=∠CDB=45°，

∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，

作CM⊥BF于F，

∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，

∴△CFM是等腰直角三角形，

∴CM=CF=，∴AE=CE=，

∴AC=2．