Question

【题目】如图，直线经过矩形的对角线的中点，分别与矩形的两边相交于点、.

(1)求证：；

(2)若，则四边形是______形，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，若，，求的面积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)菱，理由见解析；(3)．

【解析】

（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠EDO=∠FBO，由全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形BEDF是平行四边形，由菱形的判定定理即可得到结论；

（3）根据勾股定理得到，设BE=DE=x，得到AE=8-x，根据勾股定理列方程得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EDO＝∠FBO，

∵点O是BD的中点，

∴BO＝DO，

在△BOF与△DOE中，，

∴△BOF≌△DOE(ASA)，

∴OE＝OF；

(2)四边形BEDF是菱形，

理由：∵OE＝OF，OB＝OD，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴平行四边形BEDF是菱形；

故答案为：菱；

(3)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AD＝8，BD＝10，

，

设BE＝DE＝x，

∴AE＝8﹣x，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴62+(8﹣x)2＝x2，

解得：，

∴BE＝，

∵BO＝BD＝5，

∴OE＝，

∴△BDE的面积．