Question

【题目】如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，

(1)如图1，过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；

(2)如图2，延长BE到D，∠ADB =∠ABC， AF⊥BD于F，AD=2,BF=3,求DF的长

(3)如图3，若AB=AC，AF⊥BD，∠ACD=∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DF=1; （3）BF=CD+DF，理由见解析.

【解析】

（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB，可证得结论；

（2）作AH=AD,可得AH=BH=AD=2，从而HF= 1，在△AHD中，AH=AD,AF⊥HD,

得HF=FD=1;

（3）延长CD到M，使得CM=BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，则△ABD≌△ACM，根据全等三角形的性质可得出AD=AM，∠ADB=∠AMC，利用全等三角形的判定定理AAS可证出△ADF≌△ADN，根据全等三角形的性质可得出DF=DN=MN，再结合BD=CM即可找出BF=CD+DF．

（1）证明：

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，

∴BD=ED，

∴△DBE为等腰三角形；

（2）作AH=AD,

∴∠AHD=∠D,

∴∠1=∠AHD,

∵∠AHD=∠1+∠3，

∴AH=BH=AD=2，

∴HF=BF-BH=3-2=1，

∵在△AHD中，AH=AD,AF⊥HD,

∴HF=FD=HD,

∴DF=HF=1;

（3）解：在图中，延长CD到M，使得CM=BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，

∵BE平分∠ABC，∠ACD=∠ABC，

∴∠ACM=∠ABD．

在△ABD和△ACM中，

，

∴△ABD≌△ACM（SAS），

∴AD=AM，∠ADB=∠AMC，

∴∠AMD=∠ADM，

∴∠ADF=ADN．

∵AN⊥DM，

∴DN=MN．

在△ADF和△ADN中，

，

∴△ADF≌△ADN（AAS），

∴DF=DN=MN．

∵BD=CM，

∴BF=BC-DF=CM-MN=CN=CD+DN=CD+DF．

即BF=CD+DF．