Question

【题目】已知：△ABC是等腰直角三角形.∠A=90°，CE平分∠ACB交AB于点E.

(1)如图1，若点D在斜边BC上，DM垂直平分BE，垂足为M.求证：BD=AE.

(2)如图2，过点B作BF⊥CE交CE的延长线于点F.若CE=6，求△BEC的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）9

【解析】

（1）由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，由DM垂直平分BE，可得BD=DE，进而判断△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分线的性质可得ED=AE，根据等量代换可得BD=AE；

（2）延长BF，CA，交与点G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形内角和定理可得：∠GBC=∠G，进而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三线合一，可得BF=FG=BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可证△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根据三角形的面积公式即可求△BEC的面积．

解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵DM垂直平分BE，

∴BD=ED，

∴∠BED=∠B=45°，

∴∠EDC=∠B+∠BED=90°，

∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，

∴ED=EA，

∴BD=AE；

（2）延长BF和CA交于点G，如图，

∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，

∵BF⊥CE，∴∠BFC=∠GFC=90°，

∴∠CBG=∠CGB，∴CG=CB，

∴BF=GF=BG，

∵∠GFC=∠GAB=90°，∴∠ACF+∠G=90°，

∴∠ABG+∠G=90°，∴∠ACF=∠ABG，

在△ACE和△ABG中，

，

∴△ACE≌△ABG（ASA），

∴CE=BG，

∴CE=2BF，

∵CE=6，

∴BF=CE=3，

S△BEC=CEBF=×6×3=9．