Question

【题目】菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）EM：MF=1：4．

【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，

∴∠AEO=∠CFO，

在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE=OF，又∵OB=OD，

∴四边形BFDE是平行四边形；（5分）

（2）解：设OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，

∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴△AOM∽△OBM，∴=，

∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，

∴EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4．（10分）