Question

【题目】如图，在ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于E，F.

(1)求BD的长；

(2)当旋转角∠AOF＝________° 时，△AOF与△BOE的面积相等？请写出理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）90.

【解析】(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理求AC，由平行四边形性质求OA，在Rt△BAO中，由勾股定理得BO＝;

(2)当F在AD中点时，OF和OE是△AOD和△BOC的中线，能平分面积，此时OF是三角形ABD的中位线，则OF平行于AB，所以∠AOF＝∠BAC＝90°.

解：(1)在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝＝2.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BD＝2BO，AO＝AC＝1.在Rt△BAO中，由勾股定理得BO＝＝，

∴BD＝2.

(2)90　理由如下：易证△BOE≌△DOF，

∴若△AOF与△BOE面积相等，则△AOF与△DOF面积相等．

又∵△AOF与△DOF底边AF和DF上的高相同，

∴AF＝DF，即F为AD的中点．

又∵O为BD的中点，∴OF为△DAB的中位线，

∴OF∥AB，

∴∠AOF＝∠BAC＝90°.

故答案为90.