Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现
①当α=0°时， =；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）

解：如图2，

，

当0°≤α＜360°时， 的大小没有变化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵ ，

∴△ECA∽△DCB，

∴

（3）

解：①如图3，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= = ，

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴ ．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= = ，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE= =2，

∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，

由（2），可得

，

∴BD= = ．

综上所述，BD的长为4 或

【解析】解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴ ，
∴ ．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵ ，
∴ = ．
故答案为： ．
（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出 的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据 ，求出 的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据 ，判断出△ECA∽△DCB，即可求出 的值是多少，进而判断出 的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．