Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，⊙O的切线PA交CB的延长线于点P，OE∥AC交AB于点F，交PA于点E，连接BE．

（1）判断BE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若⊙O的半径为4，BE=3，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）BE是⊙O的切线；（2）．

【解析】试题分析：（1）结论：BE是⊙O的切线．首先证明∠OAP=90°，再证明△EOB≌△EOA，推出∠OBE=∠OAE即可解决问题．
（2）由（1）可知AB=2BF，在Rt△BEO中，∠OBE=90°，OB=4，BE=3，可得OE==5，由BEOB=OEBF，可得BF=＝，由此即可解决问题．

试题解析：（1）BE是⊙O的切线．
理由：如图连接OA．

∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵OE∥AC，
∴∠OFB=∠BAC=90°，
∴OE⊥AB，
∴BF=FA，
∵OB=OA，
∴∠EOB=∠EOA，
在△EOB和△EOA中，
，

∴△EOB≌△EOA，
∴∠OBE=∠OAE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知AB=2BF，
在Rt△BEO中，∵∠OBE=90°，OB=8，BE=6，
∴OE==5，
∵BEOB=OEBF，
∴BF=＝，
∴AB=2BF=
．