Question

【题目】如图，将ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；

（2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先运用平行四边形的知识得到AB=BE、BE=DC、BD=EC，即可证明△ABD≌△BEC；

（2）由四边形BECD为平行四边形可得OD=OE，OC=OB，再结合四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠OCD，再结合已知条件可得OC=OD，即BC=ED；最后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．

证明：(1)∵在平行四边形ABCD

∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，即BE∥CD．

又∵AB=BE，

∴BE=DC．

∴四边形BECD为平行四边形．

∴BD=EC．

在△ABD与△BEC中，

∴△ABD≌△BEC(SSS)；

(2)∵四边形BECD为平行四边形，

∴ OD=OE，OC=OB，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A=∠BCD．即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，

∴∠OCD=∠ODC

∴OC=OD．

∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED．

∴四边形BECD为矩形．