Question

【题目】如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是－2.

(1)求这条直线的解析式及点B的坐标；

(2)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN＋3MP的长度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1)y＝x＋4，B(8，16)(2)存在．点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)(3)18

【解析】试题分析：（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；

（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；

（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．

试题解析：（1）y＝x＋4，B(8，16)　

（2）存在．

过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，

∴AG2＋BG2＝AB2，

∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝325

.设点C(m，0)，

同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，

BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，

①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－；

②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6；

③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32，

∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　

（3）设M(a，a2)，

设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，

由勾股定理得MN＝，

又∵点P与点M纵坐标相同，

∴x＋4＝a2，

∴x= ，

∴点P的横坐标为，

∴MP＝a－，

∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18，

∵－2≤6≤8，

∴当a＝6时，取最大值18，

∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是18