Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：AD＝AF；

（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形ADCF是正方形，证明详见解析．

【解析】

（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD＝BD＝CD＝BC，即可证得：AD＝AF；

（2）由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD＝DC，继而可得四边形ADCF是正方形．

解：（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠EAF＝∠EDB，

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（ASA），

∴AF＝BD，

∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，

∴AD＝BD＝DC＝BC，

∴AD＝AF；

（2）解：四边形ADCF是正方形．

∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AB＝AC，AD是中线，

∴AD⊥BC，

∵AD＝AF，

∴四边形ADCF是正方形．