【题目】如图，已知数轴上点表示的数为,点表示的数为,以为边在数轴的上方作正方形ABCD.动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点从点出发,以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后再以同样的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为秒.

(1)若点在线段.上运动，当t为何值时,?

(2)若点在线段上运动，连接,当t为何值时,三角形的面积等于正方形面积的?

(3)在点和点运动的过程中，当为何值时，点与点恰好重合?

(4)当点在数轴上运动时，是否存在某-时刻t,使得线段的长为,若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.

参考答案：

【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）存在，t=3或5，理由见详解.

【解析】

(1)由数轴上点表示的数为,点表示的数为,以为边在数轴的上方作正方形ABCD，，列出方程，即可求解；

(2)根据三角形的面积等于正方形面积的，列出方程，即可；

(3)根据等量关系，列出方程即可求解；

(4)分两种情况：①当点Q在点P的左侧时， ②当点Q在点P的右侧时，分别列出方程，即可求解.

（1）∵数轴上点表示的数为,点表示的数为,以为边在数轴的上方作正方形ABCD，

∴AD=AB=4，

∴AQ=4-2t，AP=t，

∵，

∴4-2t =t，解得：t=，

∴当t=秒时，；

（2）∵AQ=4-2t，AB=4，

∴，正方形面积=4×4=16，

∴8-4t=，解得：t=，

∴当t=秒时，三角形的面积等于正方形面积的；

（3）根据题意得：2t-4=t，解得：t=4，

∴当t=4秒时，点与点恰好重合；

（4）①当点Q在点P的左侧时，t-（2t-4）=1，解得：t=3，

②当点Q在点P的右侧时，（2t-4）-t=1，解得：t=5，

∴当t=3秒或5秒时，线段的长为.

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