Question

【题目】如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F.

（1）补全图形；

（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠AEB=；（3）BC=，证明见解析.

【解析】

（1）根据题意作图即可补全图形；

（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABD，再由BE=AB，可得∠AEB=∠BAE，然后利用三角形的内角和定理即可求得结果；

（3）设l与BC交于点H，过点E作EG⊥BF于点G，如图3，先利用轴对称的性推出∠BAH=∠CAH=α，再根据质余角的性质推出∠CBD=∠CAH=α，进一步利用（2）的结论和三角形的外角性质推出∠F=45°，进而可得，然后根据AAS可证明△ABH≌△BEG，从而得BH=EG，而BC=2BH，进一步即可得出EF与BC的数量关系.

解：（1）补全图形如图1所示：

（2）∵BD⊥AC，∠BAD=2α，∴∠ABD=90°－2α，

∵BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=；

（3）线段EF与BC的数量关系是：BC=.

证明：设l与BC交于点H，过点E作EG⊥BF于点G，如图2，

∵点B关于直线l的对称点为C，∠BAC=2α，

∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=α，

∵AH⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CBD+∠ACH=90°，

∴∠CBD=∠CAH=α，

∵∠AEB，∠AEB=∠CBD+∠F，

∴∠F=45°，则△EFG为等腰直角三角形，∴，

∵∠BAH=∠EBG=α，∠AHB=∠BGE=90°，AB=BE，

∴△ABH≌△BEG（AAS），

∴BH=EG，

∵BC=2BH，∴BC=2EG=.